Eenheidscirkel en goniometrie

Dit artikel legt de nadruk op twee zaken:
1. De definities en berekeningen van de goniometrische functies.
2. Het berekenen van de precieze lengten van de goniometrische lijnstukken in de afgebeelde eenheidscirkel, aan de hand van de uitkomsten bij 1. Al deze lengten zijn met de goniometrische functies te berekenen aan de hand van de straal r, waartoe zij een vaste verhouding hebben. Doorgaans ontbreekt deze specifieke benadering in de wiskundeboeken.

De goniometrische functies
* De sinus (sin) van hoek θ is de rode, overstaande zijde, gedeeld door de straal r. Sin 66° = 0,9135 (afgerond). Omdat geldt: de straal = 1, is sinus θ de overstaande zijde zelf.
De lengte van sin (θ) is als volgt te bepalen:
sin 66° x straal r (2,7 cm)
sin 66° = 0,9135 x 2,7 cm = 2,47 cm (afgerond); dit klopt met de afbeelding. De sinus beschrijft dus de lengteverhouding tussen het sinuslijnstuk en de straal r.

* De cosinus (cos) van hoek θ is de aanliggende, blauwe zijde. Cos 66° = 0,4067 (afgerond). Ook deze wordt gedeeld door straal r = 1, dus cosinus θ is de aanliggende zijde zelf.
De lengte van cos (θ) is als volgt te bepalen:
cos 66° x straal r (2,7 cm)
cos 66° = 0,4067 x 2,7 cm = 1,09 cm (afgerond); dit klopt met de afbeelding. De cosinus beschrijft dus de lengteverhouding tussen het cosinuslijnstuk en de straal r.

* De tangens (tan) van hoek θ = sin θ/cos θ, dus de rode zijde gedeeld door de blauwe. Tan 66° = sin 66°/cos 66° = 0,9136/0,4067 = 2,2460 (afgerond) De tangens is een raaklijn aan de eenheidscirkel, waarvan lengte en positie per hoek verschillen. In de afbeelding is de tangens dus niet zomaar ergens neergezet, doch staat loodrecht op de schuine zijde (straal r) en raakt de eenheidscirkel waar straal en sinus deze snijden. Voor de lengte van de tangens geldt: naarmate de teller van de deling (sinus) groter is en de noemer (cosinus) korter, is de tangens langer. Bij een kortere sinus en langere cosinus (naarmate de hoek kleiner wordt) geldt dit andersom; de raaklijn wordt korter en steiler. In de afbeelding is na te gaan dat bij een hoek van bijna 90°, de sinus bijna 1 zal zijn (nadert de straal in lengte) en derhalve de cosinus zeer kort; de tangens wordt daardoor zeer lang.
De lengte van de raaklijn bij tan 66° is als volgt te bepalen:
tan 66° = sin 66°/cos 66° x lengte straal r
tan 66° = 2,2460 x 2,7 cm = 6,06 cm, dit klopt met de afbeelding. De tangens beschrijft dus de lengteverhouding tussen het tangenslijnstuk en de straal r.

Merk op dat er steeds twee waarden worden berekend:
1. De goniometrische waarde, zoals de tan 66° van 2,2460
2. Met deze waarde de lengte van het lijnstuk, bij de tangens de raaklijn die tangens x straal r is.

* De cotangens (cot) is het tegenovergestelde van de tangens: cot = 1/tangens (θ) oftewel 1/(cos (θ)/sin (θ)). In de afbeelding is het het verlengde van de tangens, tussen het raakpunt met straal r en het snijpunt met het verlengde van de sinus (zie verderop), recht boven de oorsprong.
De lengte van cot 66° is als volgt te bepalen:
cot 66° = 1/tan 66° x lengte straal r
cot 66° = 1/2,2460 x 2,7 cm
cot 66° = 0,4452 x 2,7 cm = 1,20 cm, dit klopt met de afbeelding. De cotangens beschrijft dus de lengteverhouding tussen het cotangenslijnstuk en de straal r.

* De secans (sec) is het tegenovergestelde van de cosinus: sec = 1/cosinus (θ). Naarmate de hoek kleiner wordt, wordt (a) de sinus korter, (b) de cosinus langer, (c) de tangens korter en (d) de secans korter omdat de noemer (cosinus) langer is. Sec 66° = 1/cos 66° = 1/0,4067 = 2,4586 (afgerond)
De lengte van het lijnstuk sec 66° is als volgt te bepalen:
sec 66° = 1/cos 66° x lengte straal r sec 66° = 1/0,4067 x 2,7 cm
sec 66° = 2,4586 x 2,7 cm = 6,63 cm (afgerond), dit klopt met de afbeelding. De secans van de hoek beschrijft dus de lengteverhouding tussen het secanslijnstuk en de straal r.

* De cosecans (csc, lijnstuk OF) is het tegenovergestelde van de sinus: csc = 1/sinus (θ). De csc 66° = 1/sin 66° = 1/0,9135 = 1,0946 (afgerond)
De lengte van het lijnstuk csc 66° is als volgt te bepalen:
csc 66° = 1/sin66° x lengte straal r csc 66° = 1/0,9135 x 2,7 cm
csc 66° = 1,0946 x 2,7 cm = 2,95 cm (afgerond), dit klopt met de afbeelding. De cosecans van de hoek beschrijft dus de lengteverhouding tussen het cosecanslijnstuk en de straal r.

Naarmate de hoek (θ) scherper wordt, wordt (a) de sinus korter en (b) de cosecans langer door de kleinere noemer. Ook is de tangens dan steiler en korter, de cotangens langer en snijdt deze de lijn vanuit de Oorsprong dan hoger. Hierdoor is de excosecans (zie verderop) dan langer.

* De exsecans (exsec) is bepaald als het verschil tussen de secans en de eenheidscirkel met lengte 1. Dus exsec (lijnstuk DE) = sec - 1 oftewel lijnstuk OD. Deze heet ook wel sec - sinus versus - cosinus. Hier is dat 6,63 cm - 2,7 cm = 3,93 cm. De sinus versus (versin) volgt nog hieronder.

* De excosecans (excsc) is bepaald als het verschil tussen de cosecans (csc) en de eenheidscirkel met lengte 1. Dus excsc = csc - 1, hier is dat 2,95 cm - 2,7 cm = 2,5 cm. De excsc is ook wel de csc - cosinus versus - sinus of lijnstuk OF - 1. De De cosinus versus (cvs) volgt hieronder.

* De sinus versus (versin) is 1 - cosinus (θ), dus het stuk tussen de cosinus en de cirkel. Hier is dat 2,7 cm - 1,09 cm = 1,61 cm. De verhouding met de sinus (θ) is versin (θ) = 2sin² (1/2 θ)

* De cosinus versus (coversin) is 1 - sinus (θ), dus het stuk tussen de sinus en de cirkel boven de Oorsprong. Hier is dat 2,7 cm - 2,47 cm = 0,23 cm. De verhouding met de sinus (θ) is coversin (θ) = versin (π/2 - θ).

--------------------------